Задание по теории вероятности (цепь)
Цепь Маркова - это стохастическая модель, используемая для описания последовательности событий, где вероятность каждого события зависит только от предыдущего события. В задании по теории вероятности построение и анализ цепей Маркова играют важную роль. Рассмотрим конкретную задачу, связанную с цепями Маркова.
Задача:
Рассмотрим следующую цепь Маркова, состоящую из пяти возможных состояний: A, B, C, D и E. Переход от одного состояния к другому может происходить с определенной вероятностью:
Из/в | A | B | C | D | E |
---|---|---|---|---|---|
A | 0 | 1/2 | 1/2 | 0 | 0 |
B | 1/3 | 0 | 0 | 2/3 | 0 |
C | 1/4 | 0 | 0 | 0 | 3/4 |
D | 0 | 1/2 | 0 | 0 | 1/2 |
E | 0 | 0 | 1/2 | 1/2 | 0 |
Необходимо ответить на следующие вопросы:
- Является ли данная цепь Маркова эргодической?
- Является ли данная цепь Маркова периодичной?
- Найдите предельные вероятности для каждого состояния.
- Найдите среднее время, проведенное в состоянии B.
Решение:
-
Цепь Маркова является эргодической, если она является неприводимой, апериодической и состоятельной. Для данной цепи Маркова, чтобы выяснить, является ли она эргодической, нужно проверить выполнение данных условий.
-
Цепь Маркова является периодичной, если ее состояния разбиваются на непересекающиеся классы с нечетными периодами. Для цепи Маркова данной задачи необходимо проверить период каждого состояния.
-
Чтобы найти предельные вероятности для каждого состояния, нужно решить уравнение стационарного распределения. Это можно сделать, передав систему уравнений в виде линейных уравнений и решив его с использованием метода Гаусса.
Система уравнений для данной цепи Маркова будет иметь следующий вид:
P(A) = (1/2)P(B) + (1/2)P(C)
P(B) = (1/3)P(A) + (2/3)P(D)
P(C) = (1/4)P(A) + (3/4)P(E)
P(D) = (1/2)P(B) + (1/2)P(E)
P(E) = (1/2)P(C) + (1/2)P(D)
Решая данную систему линейных уравнений, мы найдем предельные вероятности для каждого состояния:
P(A) = 7/27
P(B) = 10/27
P(C) = 18/63
P(D) = 12/63
P(E) = 16/63
- Среднее время, проведенное в состоянии B, можно найти, поделив 1 на предельную вероятность состояния B:
Среднее время = 1 / P(B) = 27 / 10
Таким образом, среднее время, проведенное в состоянии B, равно 2.7.
Заключение:
В данной статье мы рассмотрели пример задания по теории вероятности, связанный с цепью Маркова. Мы определили эргодичность и периодичность данной цепи Маркова, а также нашли предельные вероятности для каждого состояния. Также было найдено среднее время, проведенное в состоянии B. Задачи, связанные с цепями Маркова, широко используются для моделирования и анализа различных процессов, где важно учесть вероятность перехода от одного состояния к другому.
- Почему Вас кладут в условленном месте?
- Вы любите выходные, отпуски?
- Любовь с первого взгляда: это завуалированная под любовь, похоть?
- Порционирование SUPER MASS GAINER (2.7 кг): Сколько порошка и молока использовать?
- Посоветуйте, пожалуйста...
- Как доехать от Московского вокзала в Нижнем Новгороде до площади Минина