Исследование вероятности случайного выбора бракованных деталей из партии

Представим, что в партии из 300 деталей 75 из них являются бракованными. Нам нужно найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей окажется одна бракованная.

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику, то есть формулы для подсчета числа комбинаций. В данном случае, мы можем воспользоваться формулой для нахождение числа сочетаний из n элементов по k:

$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ - общее число элементов, а $k$ - количество выбранных элементов.

В нашем случае, мы должны найти число сочетаний из 75 бракованных деталей и 225 небракованных деталей по 1 бракованной и 2 небракованным деталям:

$C_{75}^1 \cdot C_{225}^2 = \dfrac{75!}{1!(75-1)!} \cdot \dfrac{225!}{2!(225-2)!} = 75 \cdot 25200 = 1 890 000$

Таким образом, мы получили общее число сочетаний из трех деталей, где одна деталь является бракованной.

Далее, нам нужно найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей окажется одна бракованная. Для этого нам нужно поделить найденное число сочетаний на общее число сочетаний из трех деталей:

$P = \dfrac{C_{75}^1 \cdot C_{225}^2}{C_{300}^3} = \dfrac{1 890 000}{\dfrac{300!}{3!(300-3)!}} = \dfrac{1 890 000}{4 158 600} \approx 0.454$

Таким образом, мы можем сказать, что вероятность случайного выбора одной бракованной детали из трех наугад взятых составляет около 45%.

Вывод

Рассмотренная задача представляет пример использования комбинаторики для нахождения вероятности случайного выбора элементов из заданного множества. На практике такие задачи часто встречаются в различных областях, где необходимо проводить отбор или выборку по определенным характеристикам. Поэтому знание основ комбинаторики может быть полезно для более эффективного решения подобных задач.