У прямій трикутній призмі всі ребра рівні. Бічна поверхня дорівнює 12 м2. Знайдіть висоту.

Дано пряма трикутна призма, де всі її ребра рівні. Також відомо, що бічна поверхня прямої трикутної призми дорівнює 12 м².

Необхідно знайти висоту цієї призми.

Для виконання даного завдання скористаємося формулою знаходження площі бічної поверхні призми:

$$ S_{бп} = ph $$

де $S_{бп}$ - площа бічної поверхні, $p$ - периметр основи призми, $h$ - висота призми.

При цьому, якщо основа призми є трикутником, периметр обчислюється за формулою:

$$ p = a + b + c $$

де $a$, $b$, $c$ - сторони трикутнику.

З огляду на те, що всі ребра прямої трикутної призми мають однакову довжину, периметр основи призми можемо обчислити за формулою:

$$ p = 3a $$

де $a$ - довжина ребра призми.

Таким чином, маємо:

$$ S_{бп} = ph = 3ah $$

Відомо, що $S_{бп} = 12$ м². Також відомо, що всі ребра прямої трикутної призми рівні. Отже, знаходимо площу трикутника через довжину його сторони:

$$ S_{тр} = \frac{a \cdot h^{2}}{2} $$

При цьому, враховуючи, що пряма трикутна призма має рівнобедрений трикутник як основу, то висота трикутника може бути знайдена за допомогою формули:

$$ h = \sqrt{a^{2} - \left(\frac{a}{2}\right)^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a $$

Таким чином, підставляємо вираз для $h$ у формулу для $S_{тр}$:

$$ S_{тр} = \frac{a \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{3} $$

Оскільки трикутник є рівнобедреним, то можемо знайти довжину сторони $a$ за формулою:

$$ a = \frac{2}{\sqrt{3}}S_{бп} = \frac{2}{\sqrt{3}} 12 = 8\sqrt{3} $$

Підставимо це значення у вираз для висоти:

$$ h = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 8\sqrt{3} = 12 $$

Отже, висота прямої трикутної призми дорівнює 12 м.

Основними формулами, які були використані для розв'язання даної задачі, є формули знаходження площі бічної поверхні призми та площі трикутника через довжину його сторони.

Важливо знати, що в разі, якщо основа призми є трикутником, то периметр основи можна обчислити як добуток довжини сторони на кількість сторін трикутника, що дорівнює трьом у випадку рівносторонньої трикутної призми.