Определите остаток от деления числа 3^25 на:

a) 10

б) 11

в) 13

Для нахождения остатка от деления числа на другое число можно использовать теорему о делении с остатком.

a) Нахождение остатка от деления числа 3^25 на 10:

Чтобы найти остаток от деления числа на 10, нам нужно рассмотреть последние цифры числа 3^25.

Число 3 при возведении в любую нечётную степень даёт последнию цифру 3, а при возведении в чётную степень последняя цифра будет 9. Таким образом, чтобы найти остаток от деления числа 3^25 на 10, нам необходимо определить последнюю цифру.

Так как степень 25 - это нечётное число, то последняя цифра будет 3. Следовательно, остаток от деления числа 3^25 на 10 будет 3.

б) Нахождение остатка от деления числа 3^25 на 11:

Для нахождения остатка от деления числа на 11, мы можем воспользоваться правилом Ферма. Если число а и число n взаимно просты (то есть, их наибольший общий делитель равен 1), то для любого положительного целого числа k, a^k mod n = a^(k mod (n-1)) mod n.

В нашем случае, а = 3, n = 11. Так как 3 и 11 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1), мы можем воспользоваться правилом Ферма.

Остаток от деления 25 на (11-1) равен 1. Поэтому остаток от деления числа 3^25 на 11 будет равен остатку от деления числа 3^1 на 11.

3^1 mod 11 = 3 mod 11 = 3.

Следовательно, остаток от деления числа 3^25 на 11 будет 3.

в) Нахождение остатка от деления числа 3^25 на 13:

Для нахождения остатка от деления числа на 13, мы также можем использовать правило Ферма.

В нашем случае, а = 3, n = 13. Опять же, так как 3 и 13 взаимно просты, мы можем воспользоваться правилом Ферма.

Остаток от деления 25 на (13-1) равен 25 mod 12 = 1. Поэтому остаток от деления числа 3^25 на 13 будет равен остатку от деления числа 3^1 на 13.

3^1 mod 13 = 3 mod 13 = 3.

Следовательно, остаток от деления числа 3^25 на 13 будет 3.

Таким образом, мы нашли остатки от деления числа 3^25 на 10, 11 и 13. Они соответственно равны 3, 3 и 3.