Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале

Нам дана функция y=x^3+9x^2-7 и интервал (-2;1). Наша задача - найти наибольшее и наименьшее значение функции на этом интервале.

Нахождение экстремумов функции

Для начала найдем производную данной функции:

y' = 3x^2 + 18x

Далее найдем ее корни:

3x^2 + 18x = 0

3x(x+6) = 0

Отсюда x=0 или x=-6

Построим таблицу знаков производной:

x	-∞	-6	0	1	+∞
y'	-	-	+	+	+
y	убывает	стремится к минимуму	возрастает	возрастает	возрастает

Из таблицы знаков производной видно, что функция убывает на интервале (-∞;-6] и возрастает на интервале [0;+∞). Значит, экстремум находится в точке -6.

Для того, чтобы определить, является ли найденная точка максимумом или минимумом, воспользуемся второй производной:

y'' = 6x + 18

Подставляем найденное значение x=-6:

y''(-6) = 6 * (-6) + 18 = -18

Значение второй производной отрицательное, значит, точка (-6;107) является точкой максимума.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Теперь, когда мы нашли точку максимума, остается найти наибольшее и наименьшее значении функции на интервале (-2;1).

Подставим крайние точки интервала и точку максимума в функцию:

y(-2) = -7

y(1) = 3

y(-6) = 107

Следовательно, наибольшее значение функции - y(-6) = 107, а наименьшее - y(-2) = -7.

Вывод

Найдены наибольшее и наименьшее значения функции y=x^3+9x^2-7 на интервале (-2;1). Максимальное значение функции равно 107, а минимальное - -7. Точка максимума функции находится в точке -6;107.