Нано Компьютеры

Статья: Решение логарифмических уравнений

Введение

Логарифмы являются важным инструментом для решения математических уравнений. Уравнения, содержащие логарифмические выражения, могут быть решены с помощью свойств и правил логарифмов. В данной статье мы рассмотрим три уравнения и покажем, как их решить.

Уравнение 1: log5(x-10)=2+log2

Перепишем данное уравнение, используя свойство логарифма sum(x, y) = log(x) + log(y):

log5(x-10) = log2(2) + log2

Так как log2(2) = 1, заменим это значение:

log5(x-10) = 1 + log2

Используем свойство логарифма change of base formula для перевода логарифма по основанию 5 в логарифм по основанию 2:

log2(x-10)/log2(5) = 1 + log2

Упростим правую часть выражения:

log2(x-10)/log2(5) = 1 + 1

log2(x-10)/log2(5) = 2

Теперь можно убрать дробь, умножив обе части уравнения на log2(5):

log2(x-10) = 2 * log2(5)

log2(x-10) = log2(5^2)

log2(x-10) = log2(25)

Теперь преобразуем уравнение, используя свойство равенства логарифмов:

x-10 = 25

x = 25 + 10

x = 35

Итак, решение уравнения log5(x-10)=2+log2 - это x = 35.

Уравнение 2: log2x + log4x + log16x = 14

Перепишем данное уравнение, используя свойство логарифма sum(x, y) = log(x) + log(y):

log2x + log4x + log16x = 14

С помощью свойства логарифма product(x, y) = log(x) + log(y), объединим логарифмы:

log2(x * 4x * 16x) = 14

Упростим выражение:

log2(64x^3) = 14

Преобразуем уравнение, используя свойство равенства логарифмов:

64x^3 = 2^14

64x^3 = 16384

Разделим обе части уравнения на 64:

x^3 = 256

Теперь извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

x = ∛256

x = 4

Итак, решение уравнения log2x + log4x + log16x = 14 - это x = 4.

Уравнение 3: log3x + logx3 = 2

Перепишем данное уравнение, используя свойство логарифма sum(x, y) = log(x) + log(y):

log3x + logx3 = 2

С помощью свойства логарифма product(x, y) = log(x) + log(y), объединим логарифмы:

log3(x * x^3) = 2

Упростим выражение:

log3(x^4) = 2

Преобразуем уравнение, используя свойство равенства логарифмов:

x^4 = 3^2

x^4 = 9

Теперь извлечем четвертый корень из обеих частей уравнения:

x = ∜9

x = √3

Итак, решение уравнения log3x + logx3 = 2 - это x = √3.

Заключение

В данной статье были рассмотрены и решены три логарифмических уравнения. Логарифмы являются мощным инструментом для решения сложных математических уравнений, и понимание их свойств и правил может помочь вам в успешном решении подобных задач.