Статья: Решение логарифмических уравнений
Введение
Логарифмы являются важным инструментом для решения математических уравнений. Уравнения, содержащие логарифмические выражения, могут быть решены с помощью свойств и правил логарифмов. В данной статье мы рассмотрим три уравнения и покажем, как их решить.
Уравнение 1: log5(x-10)=2+log2
Перепишем данное уравнение, используя свойство логарифма sum(x, y) = log(x) + log(y):
log5(x-10) = log2(2) + log2
Так как log2(2) = 1, заменим это значение:
log5(x-10) = 1 + log2
Используем свойство логарифма change of base formula для перевода логарифма по основанию 5 в логарифм по основанию 2:
log2(x-10)/log2(5) = 1 + log2
Упростим правую часть выражения:
log2(x-10)/log2(5) = 1 + 1
log2(x-10)/log2(5) = 2
Теперь можно убрать дробь, умножив обе части уравнения на log2(5):
log2(x-10) = 2 * log2(5)
log2(x-10) = log2(5^2)
log2(x-10) = log2(25)
Теперь преобразуем уравнение, используя свойство равенства логарифмов:
x-10 = 25
x = 25 + 10
x = 35
Итак, решение уравнения log5(x-10)=2+log2 - это x = 35.
Уравнение 2: log2x + log4x + log16x = 14
Перепишем данное уравнение, используя свойство логарифма sum(x, y) = log(x) + log(y):
log2x + log4x + log16x = 14
С помощью свойства логарифма product(x, y) = log(x) + log(y), объединим логарифмы:
log2(x * 4x * 16x) = 14
Упростим выражение:
log2(64x^3) = 14
Преобразуем уравнение, используя свойство равенства логарифмов:
64x^3 = 2^14
64x^3 = 16384
Разделим обе части уравнения на 64:
x^3 = 256
Теперь извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
x = ∛256
x = 4
Итак, решение уравнения log2x + log4x + log16x = 14 - это x = 4.
Уравнение 3: log3x + logx3 = 2
Перепишем данное уравнение, используя свойство логарифма sum(x, y) = log(x) + log(y):
log3x + logx3 = 2
С помощью свойства логарифма product(x, y) = log(x) + log(y), объединим логарифмы:
log3(x * x^3) = 2
Упростим выражение:
log3(x^4) = 2
Преобразуем уравнение, используя свойство равенства логарифмов:
x^4 = 3^2
x^4 = 9
Теперь извлечем четвертый корень из обеих частей уравнения:
x = ∜9
x = √3
Итак, решение уравнения log3x + logx3 = 2 - это x = √3.
Заключение
В данной статье были рассмотрены и решены три логарифмических уравнения. Логарифмы являются мощным инструментом для решения сложных математических уравнений, и понимание их свойств и правил может помочь вам в успешном решении подобных задач.