Вычисление интеграла: ∫(e^x/(e^x+e^-x)) dx
Интегрирование функций является важной частью математики и науки в целом. Данное руководство предназначено для вычисления определенного интеграла с использованием markdown-синтаксиса.
Имеется задача на вычисление определенного интеграла:
∫(e^x/(e^x+e^-x)) dx
Для начала, проведем замену переменной, где u = e^x + e^-x. Тогда du/dx = e^x - e^-x и dx = (1/u) * (e^x - e^-x) du.
Перепишем исходный интеграл, заменив переменные:
∫((e^x/(e^x+e^-x)) * dx = ∫((e^x/(u)) * (1/u)*(e^x - e^-x) du)
Далее, упростим выражение:
∫((e^x/(u^2)) * (e^x - e^-x) du = ∫((e^2x - 1)/(u^2)) du
Разобьем выражение на два интеграла:
∫((e^2x)/(u^2)) du - ∫(1/(u^2)) du
Рассчитаем каждый из интегралов по отдельности:
-
∫((e^2x)/(u^2)) du
Проведем замену переменной снова:
v = u^2, тогда dv = 2u du.
Интеграл будет выглядеть следующим образом:
(1/2) ∫(e^2x / v) dv = (1/2) ∫(e^2x * v^(-1)) dv = (1/2) ∫(e^2x * (1 / v)) dv
Применяем интегрирование по частям, где u = e^2x и dv = 1/v dv:
(1/2) * (e^2x * ln|v| - ∫(ln|v| * (d(e^2x))))
Упрощая выражение:
(1/2) * (e^2x * ln|v| - 2x * e^2x + ∫(2x * e^2x dx))
Вычисляем последний интеграл:
(1/2) * (e^2x * ln|v| - 2x * e^2x + 2x * e^2x) = (1/2) * (e^2x * ln|v|)
Возвращаемся к исходному интегралу и подставляем значение:
∫((e^2x)/(u^2)) du = (1/2) * (e^2x * ln|u^2|)
-
∫(1/(u^2)) du
Данный интеграл можно рассчитать просто:
∫(1/(u^2)) du = -1/u
Теперь мы можем рассчитать исходный интеграл:
∫((e^x/(e^x+e^-x)) * dx = (1/2) * (e^2x * ln|u^2|) - (-1/u)
Подставляем обратные замены переменных:
(1/2) * (e^2x * ln|(e^x + e^-x)^2|) + 1/(e^x + e^-x) + C
где C - произвольная константа.
Таким образом, выражение ∫(e^x/(e^x+e^-x)) dx после вычислений равно (1/2) * (e^2x * ln|(e^x + e^-x)^2|) + 1/(e^x + e^-x) + C.