Нано Компьютеры

В равнобедренной трапеции сумма оснований равна 48см а радиус вписанной окружности равен 6корням из 3, найти стороны трап

Дано:

Найти: Стороны трапеции

Известно, что в равнобедренной трапеции две стороны равны. Обозначим их через a. Также обозначим другие стороны через b и h. Известно, что сумма оснований равна 48 см, следовательно: $$a+b+a=48$$ $$2a+b=48$$

Радиус вписанной окружности можно выразить через высоту трапеции h и полупериметр трапеции p. $$r=\frac{h}{p}$$

Поскольку трапеция равнобедренная, то полупериметр равен: $$p=\frac{2a+b}{2}$$

Подставим выражение для p в уравнение для r: $$r=\frac{h}{\frac{2a+b}{2}}$$

Учитывая, что радиус вписанной окружности равен 6 корням из 3, получаем: $$6\sqrt{3}=\frac{h}{\frac{2a+b}{2}}$$

Умножим обе стороны на $\frac{2a+b}{2}$: $$12a\sqrt{3}+6b\sqrt{3}=h(2a+b)$$

Выразим h через a и b: $$h=\frac{12a\sqrt{3}+6b\sqrt{3}}{2a+b}$$

Подставим полученное выражение для h в уравнение 2a+b=48: $$2a+b=48$$ $$h=\frac{12a\sqrt{3}+6b\sqrt{3}}{2a+b}=\frac{12a\sqrt{3}+6(48-2a)\sqrt{3}}{48}$$ $$h=\sqrt{3}\cdot\frac{12a+288-12a}{48}$$ $$h=6\sqrt{3}$$

Итак, мы нашли высоту трапеции. Теперь можно выразить b через a: $$2a+b=48$$ $$b=48-2a$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой h, основанием a и диагональю трапеции d: $$d=\sqrt{a^2+h^2}$$

Также можно выразить диагональ через a и b: $$d=\sqrt{(a+b)^2+h^2}$$

Учитывая, что b=48-2a и `h=6$\sqrt{3}$, получаем: $$\sqrt{a^2+108}=\sqrt{(48-a)^2+108}$$

Решив полученное уравнение, получим: $$a=8\sqrt{3}$$ $$b=48-2a=24\sqrt{3}$$

Итак, мы нашли, что стороны трапеции равны a=8$\sqrt{3}$ и b=24$\sqrt{3}$.

Итого, стороны трапеции равны 8$\sqrt{3}$ и 24$\sqrt{3}$ см.