В равнобедренной трапеции сумма оснований равна 48см а радиус вписанной окружности равен 6корням из 3, найти стороны трап
Дано:
- Сумма оснований равна 48 см
- Радиус вписанной окружности равен 6 корням из 3
Найти: Стороны трапеции
Известно, что в равнобедренной трапеции две стороны равны. Обозначим их через a
. Также обозначим другие стороны через b
и h
.
Известно, что сумма оснований равна 48 см, следовательно:
$$a+b+a=48$$
$$2a+b=48$$
Радиус вписанной окружности можно выразить через высоту трапеции h
и полупериметр трапеции p
.
$$r=\frac{h}{p}$$
Поскольку трапеция равнобедренная, то полупериметр равен: $$p=\frac{2a+b}{2}$$
Подставим выражение для p
в уравнение для r
:
$$r=\frac{h}{\frac{2a+b}{2}}$$
Учитывая, что радиус вписанной окружности равен 6 корням из 3, получаем: $$6\sqrt{3}=\frac{h}{\frac{2a+b}{2}}$$
Умножим обе стороны на $\frac{2a+b}{2}$: $$12a\sqrt{3}+6b\sqrt{3}=h(2a+b)$$
Выразим h
через a
и b
:
$$h=\frac{12a\sqrt{3}+6b\sqrt{3}}{2a+b}$$
Подставим полученное выражение для h
в уравнение 2a+b=48
:
$$2a+b=48$$
$$h=\frac{12a\sqrt{3}+6b\sqrt{3}}{2a+b}=\frac{12a\sqrt{3}+6(48-2a)\sqrt{3}}{48}$$
$$h=\sqrt{3}\cdot\frac{12a+288-12a}{48}$$
$$h=6\sqrt{3}$$
Итак, мы нашли высоту трапеции. Теперь можно выразить b
через a
:
$$2a+b=48$$
$$b=48-2a$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой h
, основанием a
и диагональю трапеции d
:
$$d=\sqrt{a^2+h^2}$$
Также можно выразить диагональ через a
и b
:
$$d=\sqrt{(a+b)^2+h^2}$$
Учитывая, что b=48-2a
и `h=6$\sqrt{3}$, получаем:
$$\sqrt{a^2+108}=\sqrt{(48-a)^2+108}$$
Решив полученное уравнение, получим: $$a=8\sqrt{3}$$ $$b=48-2a=24\sqrt{3}$$
Итак, мы нашли, что стороны трапеции равны a=8$\sqrt{3}$
и b=24$\sqrt{3}$
.
Итого, стороны трапеции равны 8$\sqrt{3}$ и 24$\sqrt{3}$ см.