Центральные и вписанные углы

Углы играют важную роль в геометрии, и два из них - центральные и вписанные углы - имеют особое значение при изучении окружностей. В этой статье мы рассмотрим определения, свойства и примеры центральных и вписанных углов.

Центральные углы

Центральный угол - это угол, вершина которого находится в центре окружности. Луч, исходящий из центра окружности и проходящий через конечную точку угла, делит окружность на две дуги. Мера центрального угла равна мере дуги, которую он охватывает.

Основное свойство центральных углов заключается в том, что все центральные углы, охватывающие одну и ту же дугу, равны между собой. Также, сумма всех центральных углов, охватывающих окружность, равна 360 градусов.

Вписанные углы

Вписанный угол - это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны - на хордах, соединяющих его вершину с двумя точками окружности.

Главное свойство вписанных углов заключается в том, что каждый вписанный угол, стоящий на той же дуге, что и другие вписанные углы, равен им. Также, сумма двух вписанных углов, стоящих на одной и той же дуге, равна 180 градусов.

Примеры

Пример 1: Докажем, что центральный угол, охватывающий половину окружности, равен 180 градусам.

Мера дуги, которую охватывает этот угол, равна половине от 360 градусов (так как полная окружность составляет 360 градусов). Следовательно, мера центрального угла также равна половине от 360, то есть 180 градусов.

Пример 2: В окружности АВС радиусом 5 см проведены хорды АВ и ВС, соединяющие две ее точки. Найдем угол между этими хордами.

Для начала заметим, что угол между хордами равен половине вписанного угла, стоящего на той же дуге, что и хорды.

Так как радиус окружности равен 5 см, то мы можем либо применить формулу, либо воспользоваться известным соотношением между радиусом и длиной хорды.

Пусть длина каждой хорды равна 8 см. Тогда, согласно одному из свойств геометрии окружности, проходящему через хорды углу равно половине разности между этой длиной и радиусом:

(8 - 5)/2 = 1,5 см.

Таким образом, угол между хордами равен 1,5 градуса.

Заключение

Центральные и вписанные углы в геометрии окружности обладают определенными свойствами и имеют важное значение при изучении соотношений между углами и дугами. Знание этих концепций позволяет лучше понять структуру окружностей и их свойства.