Сравнить. Сравнить $\log_2 3$ и $\log_3 5$

Как известно, логарифм это функция, обратная к возведению числа в степень. То есть, если $a^b = c$, то $\log_a c = b$. В задаче нам даны два логарифма, $\log_2 3$ и $\log_3 5$, и требуется сравнить их.

Для начала, рассмотрим свойства логарифмов. Одно из них гласит, что $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$ при условии, что $a \neq 1$ и $c \neq 1$.

Применим это свойство к задаче. Сравним $\log_2 3$ и $\log_3 5$ по основанию $10$, то есть найдем десятичные логарифмы этих чисел. Используя формулу выше, получим:

$$\log_{10} 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2} \approx 1.58496,$$ $$\log_{10} 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 3} \approx 0.68261.$$

Отсюда видно, что $\log_2 3 > \log_3 5$, так как $\log_{10} 3$ больше, чем $\log_{10} 5$ умноженное на $\log_{10} 2$.

Таким образом, мы сравнили $\log_2 3$ и $\log_3 5$ и получили, что первый логарифм больше второго.