Найти производную функции (f(x) = \frac{{x^2 - 9x}}{{x + 4}})

Производная функции является одним из важных концептов в математике и используется для определения скорости изменения функции относительно ее аргумента. Производная позволяет найти угол наклона касательной к графику функции в каждой точке. В данной статье мы рассмотрим процесс нахождения производной для функции (f(x) = \frac{{x^2 - 9x}}{{x + 4}}).

Шаг 1: Выразить функцию в виде дроби

Для начала, заметим, что данная функция уже представлена в виде дроби. Но чтобы упростить нахождение производной, давайте раскроем скобки в числителе:

(f(x) = \frac{{x^2 - 9x}}{{x + 4}})
(f(x) = \frac{{x(x - 9)}}{{x + 4}})

Теперь, когда функция представлена в таком виде, мы можем приступить к нахождению производной.

Шаг 2: Применить правило дифференцирования

Производная функции вычисляется с помощью правил дифференцирования. Для данной функции мы можем использовать правило, называемое "правило дифференцирования частного".

Правило дифференцирования частного гласит:
Если (f(x) = \frac{{g(x)}}{{h(x)}}), то (f'(x) = \frac{{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}}{{h(x)^2}}).

Применим данное правило к нашей функции, где: (g(x) = x(x - 9)) и (h(x) = x + 4).

Первым шагом найдем производные (g'(x)) и (h'(x)): (g'(x) = (x - 9) + x = 2x - 9)
(h'(x) = 1)

Теперь, подставим значения производных в формулу правила дифференцирования частного: (f'(x) = \frac{{(2x - 9)(x + 4) - x(x - 9)(1)}}{{(x + 4)^2}})

Шаг 3: Упростить выражение

Чтобы упростить производную функции, необходимо раскрыть скобки и объединить подобные слагаемые.

(f'(x) = \frac{{2x^2 + 8x - 9x - 36 - x^2 + 9x}}{{(x + 4)^2}})
(f'(x) = \frac{{x^2 + 8x - 36}}{{(x + 4)^2}})

Таким образом, мы получили окончательное выражение для производной функции (f(x)): (f'(x) = \frac{{x^2 + 8x - 36}}{{(x + 4)^2}})

Вывод

В данной статье мы рассмотрели процесс нахождения производной для функции (f(x) = \frac{{x^2 - 9x}}{{x + 4}}). Последовательно применяя правило дифференцирования частного, мы получили окончательное выражение для производной: (f'(x) = \frac{{x^2 + 8x - 36}}{{(x + 4)^2}}).