Исследование функции $y=x\sqrt{1-x^2}$ и построение ее графика

Функция $y=x\sqrt{1-x^2}$ является одной из классических функций в математическом анализе. Она используется во многих областях науки и техники, например, в физике при изучении движения тел или в инженерии при моделировании систем.

Построение графика

Для начала, построим график функции. Для этого отметим особые точки функции и найдем ее поведение на интервалах между ними.

Первая особая точка -- это точка $x=0$. В этой точке функция принимает значение $y=0$, так как под корнем стоит $1$, а $x$ равен нулю. Значит, точка $(0,0)$ является началом координат.

Вторая особая точка -- это точка $x=1$. В этой точке знаменатель функции равен $0$, что приводит к неопределенности и, следовательно, невозможности определить значение функции. Однако, поскольку мы исследуем функцию $y=x\sqrt{1-x^2}$, а не $y=\pm\sqrt{1-x^2}$, то точка $(1,0)$ не будет являться точкой разрыва.

Третья особая точка -- это точка $x=-1$. Здесь аналогичная ситуация: знаменатель функции равен $0$, что приводит к неопределенности, но точка $(-1, 0)$ не является точкой разрыва.

Теперь можем построить график функции:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Определяем функцию
def f(x):
    return x * np.sqrt(1 - x**2)

# Создаем массив значений аргумента
x = np.linspace(-1, 1, 100)

# Строим график функции
plt.plot(x, f(x))

# Определяем оси
plt.axhline(y=0, color='k')
plt.axvline(x=0, color='k')

plt.title('$y=x\sqrt{1-x^2}$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

plt.show()

Исследование функции

Теперь рассмотрим характеристики функции $y=x\sqrt{1-x^2}$.

Область определения

$$ D={x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 1 } $$ Область определения состоит из всех значений $x$, при которых выражение под корнем неотрицательно. То есть, когда $-1 \le x \le 1$.

Область значений

$$ R={y \in \mathbb{R} \mid y \ge 0} $$ Область значений состоит из всех значений $y$, при которых функция принимает положительные значения. Она равна положительным числам и нулю.

Симметрия

Функция $y=x\sqrt{1-x^2}$ является нечетной, так как выполняется условие $f(-x)=-f(x)$. Это следует из того, что функция взаимно обратна с функцией $y=-x\sqrt{1-x^2}$.

Производная

$$ y'=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}} $$ Производная функции $y=x\sqrt{1-x^2}$ равна отношению произведения $x$ и $\sqrt{1-x^2}$ к корню из $1-x^2$. Можно заметить, что $y'$ равна нулю при значениях аргумента $\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ и не существует при $x=\pm 1$.

Монотонность и экстремумы

Функция $y=x\sqrt{1-x^2}$ является монотонной на интервалах $(-1; -\frac{1}{\sqrt{2}}]$ и $[\frac{1}{\sqrt{2}}; 1)$. Она имеет один максимум в точке $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и один минимум в точке $x= -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Асимптоты

На графике функции можно заметить, что при $x \to 1$ и $x \to -1$ функция стремится к нулю. Это означает, что у функции есть горизонтальные асимптоты, а именно $y=0$.

Итоги

Таким образом, мы исследовали функцию $y=x\sqrt{1-x^2}$ и построили ее график. Мы определили область определения, область значений, симметрию, производную, монотонность, экстремумы и асимптоты функции. Изучение этих характеристик помогает лучше понять поведение функции и ее свойства, что может быть полезным при решении различных математических задач.